PHP实现简单线性回归之数学库的重要性(2)

     该方程的 PHP 格式看起来类似于清单 3：
  
  　　清单 3. 使模型与数据相吻合的 PHP 方程
  
  
  $PredictedY[$i] = $YIntercept + $Slope * $X[$i]
  
  
  　　SimpleLinearRegression 类使用最小二乘法准则推导出 Y 轴截距（Y Intercept）和斜率（Slope）参数的估计值。这些估计的参数用来构造线性方程（请参阅 清单 3），该方程对 X和 Y值之间的关系进行建模。
  
  　　使用推导出的线性方程，您就可以得到每个 X值对应的预测 Y值。如果线性方程与数据非常吻合，那么 Y的观测值与预测值趋近于一致。
  
  　　如何确定是否非常吻合
  
  　　SimpleLinearRegression 类生成了相当多的汇总值。一个重要的汇总值是 T统计值，它可以用来衡量一个线性方程与数据的 吻合程度。如果非常吻合，那么 T 统计值往往很大。如果 T 统计值很小，那么应当用一个模型替换该线性方程，该模型假设 Y值的均值是最佳预测值（也就是说，一组值的均值通常是下一个观测值有用的预测值，使之成为缺省模型）。
  
  　　要测试 T 统计值是否大得足以不把 Y值的均值作为最佳预测值，您需要计算获取 T 统计值的随机概率。如果获取 T 统计值的概率很低，那么您可以否定均值是最佳预测值这个无效假设，与此相对应，也就确信简单线性模型与数据非常吻合。
  
  　　那么，如何计算 T 统计值的概率呢？
  
  　　计算 T 统计值概率
  
  　　由于 PHP 缺少计算 T 统计值概率的数学例程，因此我决定将此任务交给统计计算包 R（请参阅 参考资料中的 www.r-project.org）来获得必要的值。我还想提醒大家注意该包，因为：
  
  R 提供了许多想法，PHP 开发人员可能会在 PHP 数学库中模拟这些想法。
  有了 R，可以确定从 PHP 数学库获得的值与那些从成熟的免费可用的开放源码统计包中获得的值是否一致。
  　　清单 4 中的代码演示了交给 R 来处理以获取一个值是多么容易。
  
  　　清单 4. 交给 R 统计计算包来处理以获取一个值
  
  
  <?php
  // Copyright 2003, Paul Meagher
  // Distributed under GPL
  class SimpleLinearRegression {
  
   var $RPath = "/usr/local/bin/R"; // Your path here
   function getStudentProb($T, $df) {
   $Probability = 0.0;
   $cmd = "echo 'dt($T, $df)' | $this->RPath --slave";
   $result = shell_exec($cmd);
   list($LineNumber, $Probability) = explode(" ", trim($result));
   return $Probability;
   }
   function getInverseStudentProb($alpha, $df) {
   $InverseProbability = 0.0;
   $cmd = "echo 'qt($alpha, $df)' | $this->RPath --slave";
   $result = shell_exec($cmd);
   list($LineNumber, $InverseProbability) = explode(" ", trim($result));
   return $InverseProbability;
   }
  }
  ?>
  
  　　请注意，这里已经设置了到 R 可执行文件的路径，并在两个函数中使用了该路径。第一个函数根据学生的 T 分布返回了与 T 统计值相关的概率值，而第二个反函数计算了与给定的 alpha 设置相对应的 T 统计值。 getStudentProb 方法用来评估线性模型的吻合程度； getInverseStudentProb 方法返回一个中间值，它用来计算每个预测的 Y值的置信区间。
  
  　　由于篇幅有限，我不可能逐个详细说明这个类中的所有函数，因此如果您想搞清楚简单线性回归分析中所涉及的术语和步骤，我鼓励您参考大学本科学生使用的统计学教科书。
  
  　　燃耗研究
  
  　　要演示如何使用该类，我可以使用来自公共事业中燃耗（burnout）研究中的数据。Michael Leiter 和 Kimberly Ann Meechan 研究了称为 消耗指数（Exhaustion Index)的燃耗度量单位和称之为 集中度（Concentration）的独立变量之间的关系。集中度是指人们的社交接触中来自其工作环境的那部分比例。
  
  　　要研究他们样本中个人的消耗指数值与集中度值之间的关系，请将这些值装入适当命名的数组中，并用这些数组值对该类进行实例化。对类进行实例化后，显示该类所生成的某些汇总值以评估线性模型与数据的吻合程度。
  
  　　清单 5 显示了装入数据和显示汇总值的脚本：
  
  　　清单 5. 用于装入数据并显示汇总值的脚本
  
  
  <?php
  // BurnoutStudy.php
  // Copyright 2003, Paul Meagher
  // Distributed under GPL
  include "SimpleLinearRegression.php";
  // Load data from burnout study
  $Concentration = array(20,60,38,88,79,87,
   68,12,35,70,80,92,
   77,86,83,79,75,81,
   75,77,77,77,17,85,96);
  
  $ExhaustionIndex = array(100,525,300,980,310,900,
   410,296,120,501,920,810,
   506,493,892,527,600,855,
   709,791,718,684,141,400,970);
  
  $slr = new SimpleLinearRegression($Concentration, $ExhaustionIndex);
  $YInt = sprintf($slr->format, $slr->YInt);
  $Slope = sprintf($slr->format, $slr->Slope);
  $SlopeTVal = sprintf($slr->format, $slr->SlopeTVal);
  $SlopeProb = sprintf("%01.6f", $slr->SlopeProb);
  ?>
  <table border='1' cellpadding='5'>
   <tr>
   <th align='right'>Equation:</th>
   <td></td>
   </tr>
   <tr>
   <th align='right'>T:</th>
   <td></td>
   </tr>
   <tr>
   <th align='right'>Prob > T:</th>
   <td><td>
   </tr>
  </table>
  
  
  　　通过 Web 浏览器运行该脚本，产生以下输出：
  
  Equation: Exhaustion = -29.50 + (8.87 * Concentration)
  T: 6.03
  Prob > T: 0.000005
  
  　　这张表的最后一行指出获取这样大 T值的 随机概率非常低。可以得出这样的结论：与仅仅使用消耗值的均值相比，简单线性模型的预测能力更好。
  
  　　知道了某个人的工作场所联系的集中度，就可以用来预测他们可能正在消耗的燃耗程度。这个方程告诉我们：集中度值每增加 1 个单位，社会服务领域中一个人的消耗值就会增加 8 个单位。这进一步证明了：要减少潜在的燃耗，社会服务领域中的个人应当考虑在其工作场所之外结交朋友。
  
  　　这只是粗略地描述了这些结果可能表示的含义。为全面研究这个数据集的含义，您可能想更详细地研究这个数据以确信这是正确的解释。在下